“这老是数学越过的方式
新说明注解分袂艰深而刚劲的“模形态”
使用“令东说念主涣然一新的陈腐”器具，数学家们处分了50年前对于怎样对模形态（一类遑急函数）进行分类的猜念念，这对数论和表面物理产生了影响。
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这个模形态的图形使用了神采和高度描写了其复数值。
在一个新的说明注解中，一个历久被忽视的数学对象终于成为东说念主们饶恕的焦点。
乍一看，模形态——几个世纪以来，其丰富的对称性招引了数学家的函数——似乎一经引起了鼓胀的饶恕。它们出目下各式种种的问题中：它们是安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）1994年说明注解费马大定理的要道要素，该定贯串决了数论中最大的悬而未决的问题之一。它们在朗兰兹撮要中发扬着中枢作用，这是一个不断发展“大调和数学表面”的执续奋勉。它们以致被用来商议弦表面和量子物理学中的模子。
可是在这些凹凸文中出现的模形态属于特殊类型。所谓的congruence“同余”模形态领有额外的结构，使它们更容易商议。可是更一般的“非同余”模形态远远突出它们的友好的同余模形态。“要是你随即取一个模形态，那它是同余模形态的概率为1，”加拿大麦克马斯特大学的数学家Cameron Franc说。“除非你有充分的意义遭逢同余模形态，不然你不要指望。它们特别薄情。
关联词，数学家对非同余模形态知之甚少，尽管它们无处不在。“它们实足是艰深的，”剑桥大学数学家安东尼·肖尔（Anthony Scholl）说。不仅对这样一个一般的函数类作念出包罗万象的陈说很难，况兼为商议在非同余情况下瓦解模形态而建造的器具也很难。这让数学家们不细目他们应该试图说明注解什么。
关联词，对于非同余模形态的一个主要猜念念历久以来一直很隆起：就像沙漠中一个孤单的、不踏实的路标。
1968年，数学家Oliver Atkin和Peter Swinnerton-Dyer（BSD猜念念疏远者之一，zzllrr小乐译注）郑重到非同余模形态似乎有一个特别赫然的性质，将它们与同余模形态分袂开来。应该有这样一种公然的方式分袂两者“真的特别令东说念主诧异，”加州大学圣克鲁斯分校的数学家Geoffrey Mason说。同余和非同余模形态特别不同，因为非同余模形态短少同余模形态所具有的对称性。但这些相反诚然遑急，但可能很神秘，难以察觉。
瞬息之间，这些相反的赫然字据可想而知。
Atkin和Swinnerton-Dyer的不雅察自后被称为“无界分母”（unbounded denominators）猜念念。要是这是真的，它将允许数学家在大部分未建造的非同余对象规模站稳脚跟。通过提供一种毛糙的程序来识别给定的模形态属于哪个类，该猜念念还不错将表面物理学中的一个主要名堂 - 旨在贯串称为共形场论的粒子相互作用模子 - 置于更坚实的数学基础上。
但50多年来，莫得东说念主能说明注解这极少。最终，在 2021 年底，三位数学家告捷了。他们的说明注解似乎编造而来，采纳了莫得东说念主期许在这个商议规模看到的时间。数学家和物理学家目下运行探索这项使命的后果。
对称性和结构
非同余模形态并不老是被左迁到角落。
在19世纪，数学家刚刚运行发展模形态的表面。这是给一种特殊类型的高度对称函数的称呼 - 它存在于复平面的上半平面中。
青铜峡市利辛石灰有限公司复平面是一种绘画复数的程序，复数分为两部分：实数和虚数。模形态输入值是虚部为正数（对应于平面的上半部分）的复数。（上半平面不错很容易地映射到单元圆盘的里面；模形态时常使用此映射进行形容。）
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同余模形态（左）具有非同余模形态（右）所短少的附加结构。
模形态的好多对称性是根据 2×2 矩阵（四个数字的方形数组）的特殊荟萃或“群”界说的。在模形态中，这四个数字永久是整数。至关遑急的是，与细目其某些属性的矩阵关连的数字（称为行列式determinant）必须为 1。
有无尽多的这样的矩阵集。在某些群中，矩阵不错用相对毛糙的步伐来形容。举例，在所有矩阵中，右上角和左下角的元素可能是偶数，而其他两个元素是奇数。或者，右上角和左下角的元素不错被 11 整除，而其他两个元素齐比11的倍数多 1。
不错用这些关系界说的群——以及与这些群关连的模形态——是被平方商议的同余群。
但它们就像大海捞针：大多数 2×2 矩阵的荟萃不行以这种方式用很好的步伐来表征，这使得它们特等关连的模形态不一致。
直到 1930 年代后期——简单在第二次宇宙大战运行时——同余模形态的商议才运行超越非同余模形态的商议。就在当时，德国数学家埃里希·赫克（Erich Hecke）建造了一个器具箱，使他粗莽细目模形态的好多属性，并将它们与其他遑急的数学对象关连联。
Hecke的程序只适用于同余群特等模形态。非同余群短少使Hecke器具箱有用的额外结构。“当你迁徙到非同余宇宙中时，你在同余宇宙中领有的这个东西就会隐藏，”Franc说。
因此，非同余模形态似乎注定要永远被忽视。这并不是说它们莫得任何我方的特殊结构，遮拦在名义之下。正如Swinnerton-Dyer的协调者Bryan Birch（BSD猜念念另一共同疏远者，zzllrr小乐译注）也曾写说念的那样，“诚然结构更艰深，但似乎险些同样丰富。”可是当波及到走访这种结构时，数学家们却不知所措。他们以致不知说念从那里运行。
这时Atkin和Swinnerton-Dyer登场了。
整洁的程序
这两位数学家念念知说念更多对于非同余模形态，以及他们可能荫藏的任何艰深。
“这老是数学越过的方式，”宾夕法尼亚州立大学的数学家李文卿（Winnie Li）说。“你商议具有特别特殊属性和更多结构的东西。然后你去概述它，试图了解哪些属性会延续， 招聘人才哪些不会。
为了商议给定的模形态， 广州市穗凌电器有限公司数学家时常将其线路为称为q伸开式（q-expansion，温州瓯斯达电器实业有限公司一种特殊类型的幂级数）的无尽和，然后分析该伸开的所有。大众皆知，要是给定的模形态是同余的，那么所有的分母永远不会大于某个固定值。
在1960年代，Atkin和Swinnerton-Dyer算计了q伸开式的分数和模形态的分数。当他们这样作念时，他们郑重到，要是模形态是不同余的，那么其关连数列中的分母就会无适度地增长。“他们骨子上不错对这些艰深的非同余形态说些什么，”加州大学伯克利分校的数学家唐云清（首位获拉马努金奖的华东说念主女数学家，2022年）说。
2021年元旦，高级商议院的数学家 Vesselin Dimitrov 给两位共事发了一封电子邮件，讲述了“一个如意算盘的念念法”：他念念诈欺他们一直在商议的时间来处分一个实足不关连的问题，即无界分母猜念念。
分袂这两种类型的模形态真的这样容易吗？
数学家们在1968年加利福尼亚的一次会议上提到了他们的不雅察后果，标明无界分母可能长短同余模形态的精深记号。这个猜念念“特别惊东说念主”，达特茅斯学院的数学家约翰·沃伊特（John Voight）说。“它给了咱们一个整洁的程序来决定一个模形态是否属于同余群”——对于数论者来说，这是一个特别浮浅的试金石，在其他情况下可能很难检测到。
“这险些好得令东说念主难以置信，”他补充说。“东说念主们真的不指望出现这样的遗迹。”
事实上，莫得东说念主能说明注解无界分母的猜念念。李文卿和其他少数东说念主粗莽说明注解对于非同余模形态的特定族是正确的，但数学家不知说念怎样处理一般情况。
然后在 2021年9月，唐与芝加哥大学的Frank Calegari和高级商议所的Vesselin Dimitrov一齐发布了一份50页的说明注解。“这太神奇了，真的很出乎料念念，”Frank说。“嗅觉（数学）社区对怎样处理这个问题莫得任何念念法。”
作家但愿他们的论文是将沙漠中的路标发展成进修说念路集合的第一步。“咱们通过为最毛糙的问题提供谜底，为数论的这一部分作念出了浅陋的孝顺，”Dimitrov说。
回到老路
Calegari、Dimitrov和唐并莫得入部属手处分无界分母猜念念。在2019年底，他们但愿说明注解某个数字（黎曼zeta函数的雷同值）黑白常的——就像2的平方根同样，招聘人才它不行写要素数。（他们的最终想法是说明注解这个数字和其他雷同的数字是超越的，这意味着，与数字π和e同样，它们不行写为具有整数所有的多项式方程的解。）
从名义上看，这个问题是实足无关的。但在2021年元旦，Dimitrov在新的一年里给其他东说念主发了一封电子邮件，他在电子邮件中形容了 “如意算盘的念念法”：也许他们在夙昔一年中建造的时间不错重新用于说明注解无界分母猜念念。
他们试了一下。在七个月内，他们得到了说明注解。
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在说明注解了无界分母猜念念之后，加州大学伯克利分校的数学家唐云清（Yunqing Tang）不时与她的两位合著者协调，商议领先激勉说明注解的问题。“咱们正在奋勉完成咱们运行的事情，”她说。
起程点，他们沟通了两个空间：所有具有有界分母的模形态的空间，以及所有同余模形态的空间。根据无界分母猜念念，这两个空间应该是相易的。由于空间知足某些属性，数学家只需要说明注解它们的大小相易。这样作念将自动线路它们的等价性。
Calegari、Dimitrov 和唐不错相对容易地算计第二个空间的大小，从而取得一种同余模形态的低能计数。可是很清贫到第一个空间的大小测度。他们必须聚合好多不同的时间——包括来自超越数论的时间。
使用这些程序，他们标明具有有界分母的模形态的空间最多不错达到一定的大小。该最大大小比同余模形态的空间大小略大。尽管如斯，这一步“如实是说明注解的中枢，”巴黎萨克雷大学（Paris-Saclay University）的数学家让-贝努瓦·Bost（Jean-Benoît Bost）说。“你需要很大的领略身手作念到这极少。（Calegari、Dimitrov和唐以几种不同的方式说明注解了这种空间大小的界，可能给他们的时间带来更平方的诈欺。）
“这长短常古典、灿艳的数学，带有19世纪的滋味，”法国巴黎综合理工学院（École Polytechnique）的数学家哈维尔·弗雷桑（Javier Fresán）说。
然后，三东说念主需要松开两个空间之间的差距。这样作念将细目任何具有有界分母的模形态必须是同余的。
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因此，他们假定了违抗的情况：存在具有有界分母的非同余模形态。根据界说，它将糊口在Calegari、Dimitrov和唐试图松开的瑕疵中。然后，这三东说念主标明，这种非同余模形态的存在自动线路了好多其他具有有界分母的非同余模形态的存在。仿佛整片丛林齐是从那颗种子长出来的。
但他们一经细目了瑕疵的最大大小 - 它太小了，无法容纳那么多非同余形态。
这意味着即使是一种这样的形态也不可能存在。他们说明注解了Atkin和Swinnerton-Dyer几十年前的猜念念。
数学家发现使命中使用的时间比后果自身更意思意思。“这些念念法以前从未用于商议模形态的算术，”Scholl说。
正如Voight所解释的那样，尽管模形态的商议领先是复分析规模的一部分，但目下的使命一直是数论和代数几何的边界。他说，这篇新论文记号着对复分析的追想：“这是一个令东说念主涣然一新的陈腐不雅点。
寻找新表面
数学家并不是惟一双无界分母猜念念感到振奋的东说念主。它也出目下表面物理学中。
在1970年代，另一个故事与Atkin和Swinnerton-Dyer运行的故事同期伸开。数学家们郑重到一个叫作念魔群（Monster Group）的对象和一个叫作念j函数的模形态之间有一种奇怪的磋议。j函数的所有精准地响应了魔群的某些性质。
自后的商议标明，这种磋议是由于群和模形态齐与称为二维共形场论的遑急粒子相互作用模子关连。
可是，将魔群与j函数磋议起来的共形场论仅仅无数共形场论的一个例子。诚然这些表面莫得形容咱们糊口的天地，但贯串它们不错对更施行的量子场论的举止产生新的见地。
因此，物理学家不时通过不雅察它们关连的模形态来商议共形场论。（在这种情况下，物理学家使用更一般的模形态见识，称为向量值模形态。
为贯通解特定共形场论的情况，你必须说明注解它的模形态是同余的，爱尔兰戈尔韦大学的数学家和表面物理学家Michael Tuite说。然后，你不错运行形容共形场论，以致不错发现你不知说念要寻找的新场论。这对于对所有共形场论进行分类的执续奋勉尤其遑急 - 物理学家称之为模指挥的名堂。
“一朝你知说念它是一个同余模形态，它使你粗莽在这个名堂中取得庞杂的越过，”Mason说。
物理学家建造了一个框架，允许他们为正在商议的模形态假定这种同余性质。但这并不等同于领有严格的数学说明注解——诚然其他数学家自后粗莽提供这样的说明注解，但他们的论点只在某些环境中有用。根据Mason的说法，它还波及通往同余的“一条特别转折、长短不一的说念路”，尽管他也指出，这条长短不一的说念路产生了遑急的见地。
Calegari、Dimitrov和唐对无界分母猜念念的说明注解冲突了这一切。这是因为，事实说明注解，与共形场论关连的模形态老是具有整数所有。根据界说，整数的分母为 1，这意味着它们的分母永久是有界的。由于无界分母猜念念指出有界分母仅与同余模形态关连，因此不再需要作念出假定。“你以致不需要了解[共形场论]，”唐说。新的说明注解会自动为所有这些情况提供同余性 —— 以免费的方式。
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芝加哥大学的数学家弗兰克·卡莱加里（Frank Calegari）商议模形态和关连数学对象。
“这是几十年来一直存在的东西，”Bost说。目下终于处分了。
“这真的是一个遗迹，”Mason说。“这仅仅遗迹般地从这些数列是整数的事实中得出的。”
他一经运行将后果诈欺到我方的使命中。“从那篇论文出现的那天起，我就一直在使用它，”他说。“它为我念念要处分的后果提供了一个特别受接待的捷径。它削减了大批我无法看到的潜在使命。”
它还将模指挥名堂和其他后果置于更刚劲的数学基础上。“这将使数学家粗莽重新说明注解[以前的]后果，或者投诚它们，”Mason说。
“我合计这真的会产生影响，特别是在数学方面，仅仅真的，真的把事情磋议起来，真的地了解正在发生的事情，”Tuite说。
数学超越性
在他们发布证清明的一年里，Calegari、Dimitrov和唐不时他们的协调。他们目下又回到了超越数论中领先激勉他们对猜念念意思意思的问题类型。“咱们正在奋勉完成咱们运行的事情，”唐说。事实上，他们一经用他们的时间来说明注解几个感意思意思的数字黑白常数。
“他们真的把[程序]推向了极限，”Fresán 说。“我对此感到特别振奋。”
这些程序也可能适用于数论中的其他问题。
撇开时间不谈，无界分母猜念念的处分记号着更好地贯串非同余模形态的第一个遑急里程碑之一。“这是一个了不得的设置，咱们不错通过这种方式在不同余形态上取得一些进展，”Franc说。“我对将来10年，20年感到振奋，望望会发生什么。”
李文卿，Voight和其他东说念主一经运行寻找出目下这些艰深模形态分母中的数字模式。他们但愿通过这样作念，不错找到更深档次结构的线路。
“这个无界分母的猜念念仅仅一个运行，”李文卿说。
作家：Jordana Cepelewicz 2023-3-9宁波新大陆电器有限公司
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